Аннотації

КОЧЕННЯ ПОВЕРХНІ БІНОРМАЛЕЙ ГВИНТОВОЇ ЛІНІЇ ПО СВОЄМУ ЗГИНАННЮ

Автор(и):
Пилипака С.Ф., Кресан Т.А., Грищенко І.Ю., Бабка В.М.
Автор(и) (англ)
Pilipaka Sergey, Kresan Tatyana , Hryshchenko Irina , Babka Vitaly
Дата публікації:

20.02.2020

Анотація (укр):

Відомо, що нерозгортні поверхні теж можуть котитися по своєму згинанню. Якщо ці поверхні лінійчаті, то контактом обох поверхонь при коченні теж є спільні прямолінійні твірні. При коченні таких поверхонь теж відбувається суміщення відповідних твірних із проходженням однакових, тобто рівних шляхів. Фізична суть такого кочення полягає в тому, що при згинанні поверхні довжина ліній і площ відповідних відсіків не змінюється, отже при коченні однієї поверхні по іншій їхні точки проходять однаковий шлях, тобто кочення відбувається без ковзання. Важливим є визначення аналітичного опису процесу згинання поверхонь. Він базується на тому, що лінійний елемент, тобто перша квадратична форма, при згинанні поверхні не змінюється. Аналітичний опис такого кочення є непростою задачею, яка може бути розв’язана тільки для окремих класів поверхонь. В теорії згинання поверхонь вона зводиться до відшукання такої квадратичної форми вихідної поверхні, яка для її згинань має один і той же вираз. Найбільш простим випадком такого аналітичного опису згинання нерозгортної лінійчатої поверхні є згинання поверхні бінормалей просторової кривої. До виразу її першої квадратичної форми не входить кривина цієї кривої. Звідси випливає, що незмінність першої квадратичної форми поверхні можна забезпечити зміною кривини кривої. В роботі це розглянуто на прикладі гвинтової лінії. Математично доведено, що поверхня бінормалей, якою є гелікоїд, може бути зігнута на гвинтовий коноїд. Здійснено математичний опис двох поверхонь, які згинаються одна на одну, і які торкаються одна одної вздовж спільної прямолінійної твірної. Однією із цих поверхонь є вихідна, а іншою – її згинання, включаючи і гвинтовий коноїд. Наведено параметричні рівняння вихідної поверхні і її згинання за умови, що вони перебувають у контакті одна з одною вздовж спільної прямолінійної твірної.

Анотація (рус):

Известно, что неразвертывающиеся поверхности тоже могут катиться по своему изгибанию. Если эти поверхности линейчатые, то контактом обеих поверхностей при качении тоже являются общие прямолинейные образующие. При качении таких поверхностей тоже происходит совмещение соответствующих образующих с прохождением одинаковых, то есть равных путей. Физическая суть такого качения состоит в том, что при изгибании поверхности длина линий и площадей соответствующих отсеков не меняется, поэтому при качении одной поверхности по другой их точки проходят одинаковый путь, то есть качения происходит без скольжения. Аналитическое описание такого качения является непростой задачей, которая может быть решена только для отдельных классов поверхностей. В теории изгибания поверхностей она сводится к отысканию такой квадратичной формы исходной поверхности, которая для ее изгибаний имеет одно и то же выражение. Наиболее простым случаем является описание изгибания поверхности бинормали пространственной кривой. В выражение ее первой квадратичной формы не входит кривизна этой кривой. Отсюда следует, что неизменность первой квадратичной формы поверхности можно обеспечить изменением кривизны кривой. В работе это рассмотрено на примере винтовой линии. Математически доказано, что поверхность бинормалей, которой является геликоид, может быть согнута на винтовой коноид. Осуществлено математическое описание двух поверхностей, которые изгибаются друг на друга и соприкасаются вдоль общей прямолинейной образующей. Одной из этих поверхностей является исходная поверхность, а другой – ее изгибание, включая и винтовой коноид. Приведены параметрические уравнения исходной поверхности и ее изгибания при условии, что они находятся в контакте друг с другом вдоль общей прямолинейной образующей.

Анотація (англ):

Nondevelopable surfaces can also roll along their bending. If these surfaces are ruled, then the contact of both surfaces when rolling is also a common rectilinear generators. When rolling such surfaces, there is also a combination of the corresponding generators with the passage of the same, equal paths. The physical essence of such rolling is that when bending the surface, the length of the lines and areas of the respective compartments does not change, so when rolling one surface to another their points go the same way, that is, the rolling occurs without sliding. It is important to find an analytical description of the process of bending surfaces. It is based on the fact that the linear element, that is, the first quadratic shape, does not change when the surface is bent. Finding such an analytic description is a daunting task that can only be solved for individual classes of surfaces. In the theory of bending of surfaces, it is reduced to finding such a quadratic shape of the initial surface, which for its bending has the same expression. The simplest case of such an analytical description of the bending of a nondevelopable ruled surface is the bending of the surface of the binomials of the spatial curve. The expression of its first quadratic form does not include the curvature of this curve. It follows that the invariance of the first quadratic form of the surface can be ensured by changing the curvature of the curve. In this paper we consider the example of a screw line. It is mathematically proved that the surface of binomials, which is a helicoid, can be bent on a screw conoid. A mathematical description of two bending surfaces touching each other along a common rectilinear generator is made. One of these surfaces is the original, and the other is its bending, including the screw conoid. Parametric equations of the initial surface and its bending are provided, provided that they are in contact with each other along a common rectilinear generator.

Література:

  1. Рачковская Г.С. Кинематические линейчатые поверхности на основе комплексного движения одного аксоида по другому (Однополостные гиперболоиды вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов) / Г.С. Рачковская, Ю.Н. Харабаев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2014. – № 3. – С. 23 – 30.
  2. Рачковская Г.С. Математическое моделирование кинематических поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов / Г.С. Рачковская // Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона», 2013. – № 1. [Электронный ресурс]. – URL: ivdon.ru/magazine/archive/nly2013/1499/.
  3. Рачковская Г.С. Геометрическая модель и компьютерная графика кинематических линейчатых поверхностей на основе однополостного гиперболоида вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов / Г.С. Рачковская // Транспорт, Ростов н/Д, 2012. – Ч. 2: Технические науки. – С. 190 – 192.
  4. Воронцов Б.С. Гиперболоидные инструменты для изготовления цилиндрических колес с произвольным профилем зуба / Б.С. Воронцов // Надійність інструменту та оптимізація технологічних систем: збірник наукових праць. Краматорськ, 2006. – Вип. 19. – С. 76–81.
  5. Гильберт Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. – Москва : Наука, 1981. – 285 c.
  6.  Мартиросов А.Л. О качении развертываемых поверхностей друг по другу / А.Л. Мартиросов // Прикладна геометрия и инж. графика. – Київ: Будівельник, 1977. – Вып. 23. – С. 64 – 67.
  7. Обухова В.С., Пилипака С.Ф. Качение отсеков торсов по своему изгибанию [Текст] / В.С. Обухова // Прикладна геометрия и инж. графика. – Київ: Будівельник, 1986. – Вып. 41. – С. 12 – 14.
  8. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении / В.И. Шуликовский.
    – Москва: Физматгиз, 1963. – 540 с.
  9. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей. – Москва: Наука, 2010. – 556 c.
  10. Peternell M. Conchoid surfaces of rational ruled surfaces / Peternell М., D. Gruber, J. Sendra // Computer Aided Geometric Design, Volume 28, Issue. – P. 395-446. October 2011.
  11. Husty, M. (2012). On Some Surfaces in Kinematics. Journal for Geometry and Graphics, 16, 1, 47 – 58.
  12. Милинский В.И. Дифференциальная геометрия. – Л.: Кубуч, 1934. – 332 с.

References:

  1. Rachkovskaya, G.S. (2014). Kinematic linear surfaces based on the complex movement of one axoid in. Construction mechanics of engineering structures and structures, 3, 23 – 30.
  2. Rachkovskaya, G.S. (2013). Mathematical Modeling of Kinematic Surfaces Based on Single-Body Hyperboloid Rotation as Fixed and Moving Axoids. Electronic Scientific Journal "Engineering bulletin of Don", 1: [Electronic resource]. – URL: ivdon.ru/magazine/archive/nly2013/1499/.
  3. Rachkovskaya, G.S. (2012). Geometric model and computer graphics of kinematic linear surfaces based on single-body hyperboloid of rotation as fixed and movable axoids. Transport, Rostov n/D. Part 2: Technical sciences, 190 – 192.
  4. Vorontsov, B.S. (2006). Hyperboloidal tools for production of cylindrical wheels with any profile of tooth. Reliability of tools and optimization of process systems. Kramatorsk, 19, 76 – 81.
  5. Gilbert, D., Cohn-Fossen, S. (1981). Visual Geometry. Moscow: Science, 285.
  6. Martirosov, A.L. (1977). On rolling of deployed surfaces on each other. Kyiv: «Budivelnyk», 23, 64 – 67.
  7. Obukhova V.S., & Pilipaka, S.F., (1986). Rolling of torso compartments by its bending. Applied to geometry and int. graphics. Kyiv: Budyvelnik, 41, 12 – 14.
  8. Shulikovsky, V.I. (1963). Classical differential geometry in tensor description. Moscow: «Fizmatgiz», 540.
  9. Krivoshapko, S.N., & Ivanov, V.N. (2010). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Moscow: Science, 556.
  10. Peternell, M., Gruber, D., & Sendra, J. (2011). Conchoid surfaces of rational ruled surfaces. Computer Aided Geometric Design, 28, 395 – 446.
  11. Husty, M. (2012). On Some Surfaces in Kinematics. Journal for Geometry and Graphics, 16, 1, 47 – 58.
  12. Milinsky, V.I. (1934). Differential Geometry. L.: Kubuch, 332.